MATHEMATIQUES 3e

Algèbre et activités numériques
Arithmétique
Les divisieurs d'un nombre
Diviseurs et multiples d'un nombre
Ensemble des diviseurs d'un nombre
Diviseurs communs à deux nombres
Le PGCD de deux nombres entiers
Simplification de fractions à l'aide du pgcd
Calcul littéral
Identités remarquables
Factoriser à l'aide d'identités remarquables
Factorisation directe
Factorisation indirecte
Développer et réduire des expressions littérales
Equations
Equation linéaire à une inconnue
Résolution d'une équation produit
Résolution d'équations par réduction ou factorisation
Résoudre un problème à l'aide d'une équation
Inéquations linéaires
Fonctions linéaires
Fonction affines
Etude de fonctions affines
Détermination des coefficients et étude de fonctions affines
Systèmes de deux équations à deux inconnues
Résolution algébrique par substitution
Résolution algébrique par combinaison
Résolution géométrique par des droites
Statistique
Etendue d'une série
Moyenne arithmétique d'une série
Moyenne pondérée d'une série
Médiane d'une série
Racine carrée
Notion de racine carrée
Calculs avec des racines carrées
Géométrie
Le théorème de Thalès
La réciproque du théorème de Thalès
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Activités dans un repère géométrique
Vecteurs et coordonnées
Milieu et longueur de segments
Angles et rotations
Sphères et boules
Polygones réguliers
Sections de formes géométriques usuelles
 

MODULE D'EXERCICES

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§table width=100% border=0 cellpadding=2 cellspacing=0 class=c_cc ¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Diviseurs et multiples d'un nombre§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤On dit qu'un entier §font color=blue¤a§/font¤ est un §font color=blue¤diviseur§/font¤ d'un autre entier §font color=blue¤b§/font¤, si on peut trouver un entier §font color=blue¤k§/font¤ tel que§br¤ §font color=blue¤k§/font¤ x §font color=blue¤a§/font¤ = §font color=blue¤b§/font¤. Autrement dit, on peut diviser §font color=blue¤b§/font¤ par §font color=blue¤a§/font¤ §u¤sans reste§/u¤.§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤§font color=blue¤4§/font¤ est un diviseur de §font color=blue¤28§/font¤ car 4 x §font color=blue¤7§/font¤ = 28§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤§br¤La notion de §font color=blue¤divisibilité§/font¤ est utile par exemple pour déterminer la possibilité d'un §font color=blue¤partage équitable§/font¤. On peut aussi l'utiliser en §font color=blue¤géométrie§/font¤ ou pour la §font color=blue¤décomposition§/font¤ d'un nombre.§br¤§br¤§font color=red¤Remarque:§/font¤ Tout nombre est divisible par §font color=blue¤1§/font¤ et par §font color=blue¤lui-même§/font¤.§br¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤On dit qu'un entier §font color=blue¤a§/font¤ est un §font color=blue¤multiple§/font¤ d'un autre entier §font color=blue¤b§/font¤, si on peut trouver un entier §font color=blue¤k§/font¤ tel que §font color=blue¤a§/font¤ = §font color=blue¤k§/font¤ x §font color=blue¤b§/font¤. Autrement dit, on peut diviser §font color=blue¤a§/font¤ vaut plusieurs fois §font color=blue¤b§/font¤.§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤§font color=blue¤60§/font¤ est un multiple de §font color=blue¤12§/font¤ car 60 = §font color=blue¤5§/font¤ x 12§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤§br¤La notion de §font color=blue¤multiplicité§/font¤ peut être utilisée pour comparer deux grandeurs (le double, le triple, etc ...).§br¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤Si §font color=blue¤a§/font¤ est un diviseur de §font color=blue¤b§/font¤, alors §font color=blue¤b§/font¤ est un multiple de §font color=blue¤a§/font¤§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤§/td¤§/tr¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Exemple§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤60§/font¤ est un diviseur de §font color=blue¤180§/font¤ car 3 x §font color=blue¤60§/font¤ = 180§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤4§/font¤ n'est pas un diviseur de §font color=blue¤22§/font¤ car 4 x 5 = §font color=blue¤20§/font¤ et 4 x 6 = §font color=blue¤24§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤108§/font¤ est un multiple de §font color=blue¤9§/font¤ car 108 = §font color=blue¤12§/font¤ x 9§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤
§table width=100% border=0 cellpadding=2 cellspacing=0 class=c_cc ¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Ensemble des diviseurs d'un nombre§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤Un nombre peut admettre §font color=blue¤plusieurs diviseurs§/font¤. Aussi il est courant de vouloir rechercher l'§font color=blue¤ensemble de tous les diviseurs§/font¤ d'un nombre. Par exemple l'ensemble des diviseurs de §font color=blue¤12§/font¤ est §font color=blue¤{1, 2, 3, 4, 6, 12}§/font¤. §br¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤Un nombre est dit §font color=blue¤premier§/font¤ s'il n'§u¤est divisible que§/u¤ par §font color=blue¤1§/font¤ et §font color=blue¤lui-même§/font¤§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤Rechercher tous les diviseurs d'un nombre est un travail qui peut être §font color=blue¤fastidieux§/font¤, mais il faut faire preuve de §font color=blue¤bon sens§/font¤ pour aller plus vite et sûrement. Voici quelques pistes:§br¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤le quotient d'un nombre par son diviseur est un autre diviseur§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤§font color=blue¤4§/font¤ est un diviseur de 12, donc §sup style=font-size:9pt¤12§/sup¤§font face=arial size=3¤⁄§/font¤§sub style=font-size:9pt¤4§/sub¤ = §font color=blue¤3§/font¤ en est un aussi§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤si §font color=blue¤2§/font¤ n'est pas un diviseur, exclure §font color=blue¤tous les nombres pairs§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤essayer §font color=blue¤directement avec les nombres premiers§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤utiliser les §font color=blue¤critères de divisibilité§/font¤ connus (ex: par §font color=blue¤2§/font¤, par §font color=blue¤3§/font¤, par §font color=blue¤5§/font¤, par §font color=blue¤10§/font¤, ...)§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤avancer dans l'ordre croissant des diviseurs possibles§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Exemple§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤l'ensemble des diviseurs de §font color=blue¤25§/font¤ est §font color=blue¤{1, 5, 25}§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤l'ensemble des diviseurs de §font color=blue¤17§/font¤ est §font color=blue¤{1, 17}§/font¤, §font color=blue¤17§/font¤ c'est donc un nombre §font color=blue¤premier§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤l'ensemble des diviseurs de §font color=blue¤60§/font¤ est §font color=blue¤{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}§/font¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤
§table width=100% border=0 cellpadding=2 cellspacing=0 class=c_cc ¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Diviseurs communs à deux nombres§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤Un §font color=blue¤diviseur est commun§/font¤ à deux nombres s'il est §font color=blue¤diviseur de chacun d'eux§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤§font color=blue¤4§/font¤ est un diviseur commun à §font color=blue¤12§/font¤ et §font color=blue¤20§/font¤, car 4 x §font color=blue¤3§/font¤ = 12 et 4 x §font color=blue¤5§/font¤ = 20§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤§br¤Pour rechercher tous les diviseurs communs à deux nombres, on peut§br¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤lister tous les diviseurs de chacun des nombres§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤rechercher l'intersection des deux ensembles obtenus§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤§br¤L'usage le plus connu de cette activité est le recherche du §font color=blue¤plus grand commun diviseur§/font¤ de deux nombres. C'est le plus grand des diviseurs communs aux deux nombres proposés, le procédé précédent peut donc permettre de le déterminer (même s'il existe d'autres méthodes pour celà).§br¤§br¤§/td¤§/tr¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Exemple§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤l'ensemble des diviseurs de §font color=blue¤18§/font¤ est §font color=blue¤{1, 2, 3, 6, 9, 18}§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤l'ensemble des diviseurs de §font color=blue¤24§/font¤ est §font color=blue¤{1, 2, 4, 6, 12, 24}§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤l'ensemble des diviseurs communs de §font color=blue¤18§/font¤ et §font color=blue¤24§/font¤ est §font color=blue¤{1, 2, 6}§/font¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤
§table width=100% border=0 cellpadding=2 cellspacing=0 class=c_cc ¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Le PGCD de deux nombres entiers§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤Le §font color=blue¤§b¤p§/b¤lus §b¤g§/b¤rand §b¤c§/b¤ommun §b¤d§/b¤iviseur§/font¤ (pgcd) de deux nombres le §font color=blue¤plus grand de tous leurs diviseurs communs§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤ Le plus grand commun diviseur de §font color=blue¤18§/font¤ et §font color=blue¤24§/font¤ est §font color=blue¤6§/font¤§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤Lorsque le pgcd de deux nombre vaut §font color=blue¤1§/font¤, on dit qu'ils sont §font color=blue¤premiers§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤ §font color=blue¤9§/font¤ et §font color=blue¤14§/font¤ sont premiers car pgcd(9, 14) = 1§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤§br¤Pour calculer le pgcd de deux nombres, il existe plusieurs méthodes§br¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤lister tous les diviseurs de chacun des nombres et trouver le plus grand des diviseurs communs§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤utiliser l'algorithme de §font color=blue¤soustractions successives§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤utiliser l'algorithme de §font color=blue¤divisions successives§/font¤ (§font color=red¤Euclide§/font¤)§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤Les deux derniers algorithmes utilisent les propriétés suivantes:§br¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤si §font color=blue¤c§/font¤ divise §font color=blue¤a§/font¤ et §font color=blue¤b§/font¤ alors §font color=blue¤c§/font¤ divise §font color=blue¤b-a§/font¤, donc §font color=blue¤pgcd(a,b)=pgcd(a,b-a)§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤pgcd(18, 24) = pgcd(18, 24-18) = pgcd(18, 6) = pgcd(12, 6) = pgcd(6, 6) = pgcg(6, 0) = 6§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤si §font color=blue¤c§/font¤ divise §font color=blue¤a§/font¤ et §font color=blue¤b§/font¤ alors §font color=blue¤c§/font¤ divise §font color=blue¤r = a - b x q§/font¤, donc §font color=blue¤pgcd(a,b) = pgcd(b,r)§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤pgcg(15, 6) = pgcd(6, 3 §font color=green¤= 15 - 6x2§/font¤) = pgcd(3, 0 §font color=green¤= 6 - 3x2§/font¤) = 3§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤
§table width=100% border=0 cellpadding=2 cellspacing=0 class=c_cc ¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Simplification de fractions à l'aide du pgcd§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§br¤Le §font color=blue¤pgcd§/font¤ est très utile pour §font color=blue¤simplifier une fraction au mieux§/font¤. Il s'agit de rendre la fraction §font color=blue¤irréductible§/font¤, c'est à dire qu'on §font color=blue¤ne peut plus la simplifier§/font¤. En effet§br¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤Si on simplifie une fraction §font color=blue¤§sup style=font-size:9pt¤a§/sup¤§font face=arial size=3¤⁄§/font¤§sub style=font-size:9pt¤b§/sub¤§/font¤ par §font color=blue¤pgcd(a, b)§/font¤, on obtient une §font color=blue¤fraction équivalente irréductible§/font¤.§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤§sup style=font-size:9pt¤18§/sup¤§font face=arial size=3¤⁄§/font¤§sub style=font-size:9pt¤24§/sub¤ se réduit à §sup style=font-size:9pt¤3§/sup¤§font face=arial size=3¤⁄§/font¤§sub style=font-size:9pt¤4§/sub¤ en simplifiant par pgcd(18, 24) = §font color=blue¤6§/font¤§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤§br¤Rappelons que §font color=blue¤simpifier une fraction§/font¤ consiste à §font color=blue¤diviser§/font¤ son §font color=blue¤numérateur§/font¤ et son §font color=blue¤dénominateur§/font¤ par un §font color=blue¤même nombre§/font¤ (on dira §font color=blue¤"simplier par ..."§/font¤). On peut répéter cette opération de §font color=blue¤simplification plusieurs fois§/font¤ jusqu'à ce que celà ne change plus rien, la fraction devient §font color=blue¤irréductible§/font¤. En utilisant le §font color=blue¤pgcd§/font¤, on y arrive d'§font color=blue¤un seul coup§/font¤.§br¤§br¤§/td¤§/tr¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Exemple§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§sup style=font-size:9pt¤32§/sup¤§font face=arial size=3¤⁄§/font¤§sub style=font-size:9pt¤24§/sub¤ se réduit à §sup style=font-size:9pt¤4§/sup¤§font face=arial size=3¤⁄§/font¤§sub style=font-size:9pt¤3§/sub¤ en simplifiant par pgcd(32, 24) = §font color=blue¤8§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§sup style=font-size:9pt¤15§/sup¤§font face=arial size=3¤⁄§/font¤§sub style=font-size:9pt¤9§/sub¤ se réduit à §sup style=font-size:9pt¤5§/sup¤§font face=arial size=3¤⁄§/font¤§sub style=font-size:9pt¤3§/sub¤ en simplifiant par pgcd(15, 9) = §font color=blue¤3§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§sup style=font-size:9pt¤15§/sup¤§font face=arial size=3¤⁄§/font¤§sub style=font-size:9pt¤8§/sub¤ est irréductible car pgcd(15, 8) = §font color=blue¤1§/font¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤
§table width=100% border=0 cellpadding=2 cellspacing=0 class=c_cc ¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Identités remarquables§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤Les §font color=blue¤identités remarquables§/font¤ sont des égalités très utiles pour §font color=blue¤dévélopper§/font¤ ou §font color=blue¤factoriser§/font¤ des expressions. Il est §font color=blue¤important de les retenir§/font¤ et de s'en servir dans un §font color=blue¤sens comme dans l'autre§/font¤ pour atteindre l'objectif demandé dans un exercice.§br¤§br¤Dans le sens du §font color=blue¤développement§/font¤ d'expression§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤(a - b)(a + b) = a§sup¤2§/sup¤ - b§sup¤2§/sup¤§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤ (x - 4)(x + 4) = x§sup¤2§/sup¤ - 4§sup¤2§/sup¤ = x§sup¤2§/sup¤ - 16§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤(a + b)§sup¤2§/sup¤ = a§sup¤2§/sup¤ + 2ab + b§sup¤2§/sup¤§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤ (x + 5)§sup¤2§/sup¤ = x§sup¤2§/sup¤ + (2x5)x + 5§sup¤2§/sup¤ = x§sup¤2§/sup¤ + 10x + 25§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤(a - b)§sup¤2§/sup¤ = a§sup¤2§/sup¤ - 2ab + b§sup¤2§/sup¤§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤ (x - 1)§sup¤2§/sup¤ = x§sup¤2§/sup¤ - (2x1)x + 1§sup¤2§/sup¤ = x§sup¤2§/sup¤ - 2x + 1§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤Dans le sens de la §font color=blue¤factorisation§/font¤ d'expression§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤a§sup¤2§/sup¤ - b§sup¤2§/sup¤ = (a - b)(a + b)§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤ x§sup¤2§/sup¤ - 25 = x§sup¤2§/sup¤ - 5§sup¤2§/sup¤ = (x - 5)(x + 5)§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤a§sup¤2§/sup¤ + 2ab + b§sup¤2§/sup¤ = (a + b)§sup¤2§/sup¤§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤ x§sup¤2§/sup¤ + 6x + 9 = x§sup¤2§/sup¤ + (2x3)x + 3§sup¤2§/sup¤ = (x + 3)§sup¤2§/sup¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤a§sup¤2§/sup¤ - 2ab + b§sup¤2§/sup¤ = (a - b)§sup¤2§/sup¤§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤ x§sup¤2§/sup¤ - 2x + 1 = x§sup¤2§/sup¤ - (2x1)x + 1§sup¤2§/sup¤ = (x - 1)§sup¤2§/sup¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤§font color=red¤Remarque:§/font¤ a§sup¤2§/sup¤ + 4 §font color=blue¤ne correspond à aucune identité remarquable§/font¤, de même que x§sup¤2§/sup¤ - 3x + 1§/td¤§/tr¤§/table¤
§table width=100% border=0 cellpadding=2 cellspacing=0 class=c_cc ¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Factorisation directe§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§br¤La factorisation directe consiste à fournir d'§font color=blue¤un seul coup§/font¤ la forme factorisée d'une expression. Ceci s'obtient en se servant des §font color=blue¤identités remarquables§/font¤ où une §font color=blue¤indication particulière§/font¤ (par exemple le §font color=blue¤début de la factorisation§/font¤). On rappelle les §font color=blue¤identités remarquables§/font¤§br¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤a§sup¤2§/sup¤ - b§sup¤2§/sup¤ = (a - b)(a + b)§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤ x§sup¤2§/sup¤ - 25 = x§sup¤2§/sup¤ - 5§sup¤2§/sup¤ = (x - 5)(x + 5)§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤a§sup¤2§/sup¤ + 2ab + b§sup¤2§/sup¤ = (a + b)§sup¤2§/sup¤§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤x§sup¤2§/sup¤ + 6x + 9 = x§sup¤2§/sup¤ + (2x3)x + 3§sup¤2§/sup¤ = (x + 3)§sup¤2§/sup¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤§font color=blue¤a§sup¤2§/sup¤ - 2ab + b§sup¤2§/sup¤ = (a - b)§sup¤2§/sup¤§/font¤§br¤§font color=red¤Exemple:§/font¤x§sup¤2§/sup¤ - 2x + 1 = x§sup¤2§/sup¤ - (2x1)x + 1§sup¤2§/sup¤ = (x - 1)§sup¤2§/sup¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤Il faut noter qu'un des éléments d'une identité remarquable peut être une expression, par exemple si on doit factoriser (a + 1)§sup¤2§/sup¤ - 4, il faudra d'abord considérer §font color=blue¤(a + 1)§/font¤ comme un seul symbole.§br¤§br¤§/td¤§/tr¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Exemple§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤x§sup¤2§/sup¤ - 16 = x§sup¤2§/sup¤ - 4§sup¤2§/sup¤ = (x - 4)(x + 4)§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤(a - 1)§sup¤2§/sup¤ - 4 = (a - 1)§sup¤2§/sup¤ - 2§sup¤2§/sup¤ = [(a - 1) - 2][(a - 1) + 2] = (a - 3)(a + 1)§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤a§sup¤2§/sup¤ - 12a + 36 = a§sup¤2§/sup¤ - (2x6)a + 6§sup¤2§/sup¤ = (a - 6)§sup¤2§/sup¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤
§table width=100% border=0 cellpadding=2 cellspacing=0 class=c_cc ¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Factorisation indirecte§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤La factorisation est dite §font color=blue¤indirecte§/font¤ si on arrive à la forme factorisée finale en passant par des §font color=blue¤factorisations intermédiaires§/font¤. Très souvent, il s'agira de§br¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤factoriser §font color=blue¤directement§/font¤ une partie de l'expression à l'aide d'une §font color=blue¤identité remarquable§/font¤§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤identifier la §font color=blue¤forme commune§/font¤ aux deux parties de l'expression§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤mettre la §font color=blue¤forme commune§/font¤ en facteur et §font color=blue¤achever la factorisation§/font¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤Prenons par exemple l'expression E = a§sup¤2§/sup¤ + 10a + 25 + (a + 5)(a - 2). En utilisant une identité remarquable, on peut factoriser a§sup¤2§/sup¤ + 10a + 25 en (a + 5)§sup¤2§/sup¤. On a donc E = (a + 5)§sup¤2§/sup¤ + (a + 5)(a - 2). La forme commune étant (a + 5), on la met en facteur et on obtient E = (a + 5)[(a + 5) + (a - 2)] = (a + 5)(a + 5 + a - 2) = (a + 5)(2a + 3), on a donc §font color=blue¤E = (a + 5)(2a + 3)§/font¤.§br¤§br¤§/td¤§/tr¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Exemple§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤§table border=0 width=100% style=font-family:verdana;font-size:9pt¤§tr¤§td align=right¤x§sup¤2§/sup¤ - 9 + (x - 2)(x + 3) §/td¤§td align=left¤= x§sup¤2§/sup¤ - 3§sup¤2§/sup¤ + (x - 2)(x + 3)§/td¤§/tr¤§br¤§tr¤§td align=right¤§/td¤§td align=left¤= (x - 3)(x + 3) + (x - 2)(x + 3)§/td¤§/tr¤ §br¤§tr¤§td align=right¤§/td¤§td align=left¤= §font color=blue¤(x + 3)§/font¤[(x - 3) + (x - 2)]§/td¤§/tr¤ §br¤§tr¤§td align=right¤§/td¤§td align=left¤= §font color=blue¤(x + 3)§/font¤[x - 3 + x - 2]§/td¤§/tr¤ §br¤§tr¤§td align=right¤§/td¤§td align=left¤= (x + 3)(2x - 5)§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤
§table width=100% border=0 cellpadding=2 cellspacing=0 class=c_cc ¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Développer et réduire des expressions littérales§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§br¤D'une manière générale, il faut procéder comme suit pour §font color=blue¤développer§/font¤ et §font color=blue¤réduire§/font¤ (ou encore §font color=blue¤simplifier§/font¤) une expression littérale:§br¤§br¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤§table align=center class=c_l¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤développer §font color=blue¤tous les termes entre parenthèses§/font¤, en se servant des identités remarquables si nécessaire§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤regrouper les termes semblables (de même puissance) et les additionner§/td¤§/tr¤§tr ¤§td width=9 valign=top¤§div class=c_ic¤§/div¤§/td¤§td class=c_ll¤écrire le résultat final par puissances décroissantes§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤§br¤§/td¤§/tr¤§tr¤§td style='text-align:left;font-family:arial;font-size:14pt;color:#006699;' ¤Exemple§/td¤§/tr¤§tr¤§td align=left valign=top¤§table border=0 align=center cellspacing=0 cellpadding=4 class=c_g width=90%¤§td bgcolor=#FFFFFF align=left¤§table border=0 width=100% style=font-family:verdana;font-size:9pt¤§tr¤§td align=right¤(a + 2)§sup¤2§/sup¤ + a(a - 2) + a§sup¤2§/sup¤ + 3 §/td¤§td align=left¤= [a§sup¤2§/sup¤ + (2x2)a + 2§sup¤2§/sup¤] + [a§sup¤2§/sup¤ - 2a] + [a§sup¤2§/sup¤ + 3] §/td¤§/tr¤§br¤§tr¤§td align=right¤§/td¤§td align=left¤= a§sup¤2§/sup¤ + a§sup¤2§/sup¤ + a§sup¤2§/sup¤ + 4a - 2a + 3 + 4§/td¤§/tr¤ §br¤§tr¤§td align=right¤§/td¤§td align=left¤= 3a§sup¤2§/sup¤ + 2a + 7§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤§/td¤§/tr¤§/table¤